109指考數學甲單選第2題詳解

1. 設 $R$ 為從 $A$ 箱抽中紅球的事件，$B$ 為從 $B$ 箱抽中藍球的事件。 因為 $A$ 箱有 $6$ 顆白球與 $4$ 顆紅球，所以 $P(R) = \frac{4}{10} = 0.4$。 因為 $B$ 箱有 $8$ 顆白球與 $2$ 顆藍球，所以 $P(B) = \frac{2}{10} = 0.2$。 2. 計算 $E_1$（方式一）： 先在 $A$ 箱抽取，若抽中紅球則停止，得 $50$ 元，機率為 $0.4$。 若先抽中白球再從 $B$ 箱抽中藍球，得 $100$ 元，機率為 $0.6 \times 0.2 = 0.12$。 因為其他情況皆得 $0$ 元，所以 $E_1 = 0.4 \times 50 + 0.12 \times 100 = 20 + 12 = 32$。 3. 計算 $E_2$（方式二）： 先在 $B$ 箱抽取，若抽中藍球則停止，得 $100$ 元，機率為 $0.2$。 若先抽中白球再從 $A$ 箱抽中紅球，得 $50$ 元，機率為 $0.8 \times 0.4 = 0.32$。 因為其他情況皆得 $0$ 元，所以 $E_2 = 0.2 \times 100 + 0.32 \times 50 = 20 + 16 = 36$。 4. 計算 $E_3$（方式三）： 因為兩箱獨立各抽一球，所有可能結果如下： 同時抽中紅球與藍球，得 $100$ 元，機率 $0.4 \times 0.2 = 0.08$； 只抽中紅球（未抽中藍球），得 $50$ 元，機率 $0.4 \times 0.8 = 0.32$； 只抽中藍球（未抽中紅球），得 $100$ 元，機率 $0.6 \times 0.2 = 0.12$。 因為其他情況得 $0$ 元，所以 $E_3 = 0.08 \times 100 + 0.32 \times 50 + 0.12 \times 100 = 8 + 16 + 12 = 36$。 5. 因為 $E_2 = 36$、$E_3 = 36$、$E_1 = 32$，所以 $E_2 = E_3 > E_1$。 故選 $(3)$。