109指考數學甲單選第3題詳解

1. 設 $t$ 小時後細菌數量到達 $4 \times 10^{10}$ 隻。 因為初期有 $1000$ 隻且每 $3.5$ 小時擴增為 $2.4$ 倍，所以 $1000 \times (2.4)^{t/3.5} = 4 \times 10^{10}$。 2. 化簡得 $(2.4)^{t/3.5} = 4 \times 10^7$，兩邊取對數： 因為 $\log(4 \times 10^7) = \log 4 + 7$，且 $\log 4 = 2\log 2 \approx 2 \times 0.3010 = 0.6020$， 所以 $\log(4 \times 10^7) \approx 0.6020 + 7 = 7.6020$。 3. 計算 $\log(2.4)$： 因為 $\log(2.4) = \log\frac{24}{10} = \log 24 - 1 = \log(2^3 \times 3) - 1 = 3\log 2 + \log 3 - 1$， 所以 $\log(2.4) \approx 3 \times 0.3010 + 0.4771 - 1 = 0.9030 + 0.4771 - 1 = 0.3801$。 4. 代回原式： 因為 $\frac{t}{3.5} \times 0.3801 \approx 7.6020$， 所以 $t \approx \frac{7.6020 \times 3.5}{0.3801} = \frac{26.607}{0.3801} \approx 70$。 故選 $(2)$。