109指考數學甲多選第4題詳解

已知 $\overset{\large\rightharpoonup}{OC_n} = \overset{\large\rightharpoonup}{OA} + n \overset{\large\rightharpoonup}{OB}$，$n=1,2,3$。 選項 $(1)$：不正確。 因為只需取 $\overset{\large\rightharpoonup}{OA} = -\overset{\large\rightharpoonup}{OB}$，則 $\overset{\large\rightharpoonup}{OC_1} = \overset{\large\rightharpoonup}{OA} + \overset{\large\rightharpoonup}{OB} = \mathbf{0}$，所以 $\overset{\large\rightharpoonup}{OC_1}$ 有可能為零向量，並非恆不為零。 選項 $(2)$：不正確。 因為 $|\overset{\large\rightharpoonup}{OC_n}|^2 = |\overset{\large\rightharpoonup}{OA}|^2 + n^2 |\overset{\large\rightharpoonup}{OB}|^2 + 2n(\overset{\large\rightharpoonup}{OA} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{OB})$，其值隨 $n$ 增減取決於 $\overset{\large\rightharpoonup}{OA} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{OB}$ 的正負與大小，所以不一定保持 $|\overset{\large\rightharpoonup}{OC_1}| < |\overset{\large\rightharpoonup}{OC_2}| < |\overset{\large\rightharpoonup}{OC_3}|$。 選項 $(3)$：不正確。 因為 $\overset{\large\rightharpoonup}{OC_n} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{OA} = |\overset{\large\rightharpoonup}{OA}|^2 + n(\overset{\large\rightharpoonup}{OA} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{OB})$，若 $\overset{\large\rightharpoonup}{OA} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{OB} < 0$，則此值隨 $n$ 增大而遞減，所以不一定保持遞增。 選項 $(4)$：正確。 因為 $\overset{\large\rightharpoonup}{OC_n} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{OB} = \overset{\large\rightharpoonup}{OA} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{OB} + n |\overset{\large\rightharpoonup}{OB}|^2$，且 $B$ 異於 $O$ 所以 $|\overset{\large\rightharpoonup}{OB}|^2 > 0$，因此這個值必隨 $n$ 增大而嚴格遞增。 選項 $(5)$：正確。 因為 $\overset{\large\rightharpoonup}{C_1C_2} = \overset{\large\rightharpoonup}{OC_2} - \overset{\large\rightharpoonup}{OC_1} = \overset{\large\rightharpoonup}{OB}$，且 $\overset{\large\rightharpoonup}{C_2C_3} = \overset{\large\rightharpoonup}{OC_3} - \overset{\large\rightharpoonup}{OC_2} = \overset{\large\rightharpoonup}{OB}$，所以 $\overset{\large\rightharpoonup}{C_1C_2} = \overset{\large\rightharpoonup}{C_2C_3}$，又共用點 $C_2$，因此 $C_1, C_2, C_3$ 三點共線。 故選 $(4)(5)$。