101指考數學甲多選第7題詳解

因為 $G$ 是 $\Delta ABC$ 的重心，對於平面上任一點 $O$ 恆有： $$\overset{\large\rightharpoonup}{OA} + \overset{\large\rightharpoonup}{OB} + \overset{\large\rightharpoonup}{OC} = 3\overset{\large\rightharpoonup}{OG}$$ 由題意 $\overset{\large\rightharpoonup}{OD} = \overset{\large\rightharpoonup}{OA} + \overset{\large\rightharpoonup}{OB} + \overset{\large\rightharpoonup}{OC}$，故得： $$\overset{\large\rightharpoonup}{OD} = 3\overset{\large\rightharpoonup}{OG}$$ 因為上述推導，所以各選項分析如下： $(1)$ 由於 $\overset{\large\rightharpoonup}{OD} = 3\overset{\large\rightharpoonup}{OG}$，向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{OD}$ 與 $\overset{\large\rightharpoonup}{OG}$ 平行且共起點 $O$，因此 $O$、$G$、$D$ 三點共線，故選項 $(1)$ 正確。 $(2)$ 由 $\overset{\large\rightharpoonup}{OD} = 3\overset{\large\rightharpoonup}{OG}$，長度關係為 $\overline{OD} = 3\overline{OG} eq 2\overline{OG}$，故選項 $(2)$ 錯誤。 $(3)$ 計算左式： $$\overset{\large\rightharpoonup}{AD} + \overset{\large\rightharpoonup}{BD} + \overset{\large\rightharpoonup}{CD} = (\overset{\large\rightharpoonup}{OD} - \overset{\large\rightharpoonup}{OA}) + (\overset{\large\rightharpoonup}{OD} - \overset{\large\rightharpoonup}{OB}) + (\overset{\large\rightharpoonup}{OD} - \overset{\large\rightharpoonup}{OC}) = 3\overset{\large\rightharpoonup}{OD} - (\overset{\large\rightharpoonup}{OA} + \overset{\large\rightharpoonup}{OB} + \overset{\large\rightharpoonup}{OC})$$ 將 $\overset{\large\rightharpoonup}{OA} + \overset{\large\rightharpoonup}{OB} + \overset{\large\rightharpoonup}{OC} = \overset{\large\rightharpoonup}{OD}$ 代回，得： $$\overset{\large\rightharpoonup}{AD} + \overset{\large\rightharpoonup}{BD} + \overset{\large\rightharpoonup}{CD} = 3\overset{\large\rightharpoonup}{OD} - \overset{\large\rightharpoonup}{OD} = 2\overset{\large\rightharpoonup}{OD}$$ 故選項 $(3)$ 正確。 $(4)$ 三角形的重心 $G$ 永遠位於三角形的內部，故選項 $(4)$ 正確。 $(5)$ 由於 $\overset{\large\rightharpoonup}{OD} = 3\overset{\large\rightharpoonup}{OG}$，若我們將 $O$ 點選擇在重心 $G$ 附近（但 $O eq G$），則 $D$ 點也會非常接近重心 $G$，此時 $D$ 點可能落在 $\Delta ABC$ 的內部，故選項 $(5)$ 錯誤。 故選 $(1)$(3)$(4)$。