101指考數學甲多選第6題詳解

方程式 $x^2-a=0$ 的兩根為 $\pm \sqrt{a}$。因為這兩根恰為 $\sin\theta$ 與 $\cos\theta$（兩根互異，否則 $\sin\theta = \cos\theta = 0$，這與 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ 矛盾），所以其中一個為 $\sqrt{a}$，另一個為 $-\sqrt{a}$。 於是我們得到： $$\sin^2\theta = a \text{ 且 } \cos^2\theta = a$$ 由平方式關係： $$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \implies a + a = 1 \implies 2a = 1 \implies a = \frac{1}{2}$$ 因此選項 $(4)$ 正確。 當 $a = \frac{1}{2}$ 時，兩根為 $\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$。這意味著 $\sin\theta$ 與 $\cos\theta$ 一正一負，且絕對值皆為 $\frac{1}{\sqrt{2}}$。 這有兩種可能： - 第一種可能：$\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$，$\cos\theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ $\implies \theta = \frac{3\pi}{4}$。 - 第二種可能：$\sin\theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$，$\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ $\implies \theta = \frac{7\pi}{4}$。 共有兩個滿足條件的 $\theta$，因此選項 $(5)$ 錯誤。 各選項分析如下： $(1)$ 由於 $\sin\theta$ 與 $\cos\theta$ 異號，$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = -1$，故選項 $(1)$ 錯誤。 $(2)$ $\sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) = \sin\theta\cos\frac{\pi}{4} + \cos\theta\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\sin\theta + \cos\theta)$。因為 $\sin\theta$ 與 $\cos\theta$ 一正一負且絕對值相同，其和為 $0$，故 $\sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) = 0$，選項 $(2)$ 正確。 $(3)$ $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta = 2 \times \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \times \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -1$，故選項 $(3)$ 正確。 故選 $(2)$(3)$(4)$。