88學測數學選填第14題詳解

1. 因為二次方程式 $x^2 - (\tan \theta + \cot \theta)x + 1 = 0$ 的常數項為 $1$，代表兩根之積為 $1$。 設已知一根為 $x_1 = 2 + \sqrt{3}$，另一根為 $x_2$，則： $$x_2 = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3}$$ 根據兩根之和公式： $$\tan \theta + \cot \theta = x_1 + x_2 = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4$$ 2. 將 $\cot \theta$ 寫為 $\frac{1}{\tan \theta}$： $$\tan \theta + \frac{1}{\tan \theta} = 4 \implies \tan^2 \theta - 4\tan \theta + 1 = 0$$ 解一元二次方程式得： $$\tan \theta = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(1)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$$ 因為 $0 < \theta < \frac{\pi}{4} \implies 0 < \tan \theta < 1$， 而 $2 + \sqrt{3} > 1$，$2 - \sqrt{3} < 1$，因此取負號： $$\tan \theta = 2 - \sqrt{3}$$