88學測數學選填第13題詳解

以大王椰子樹為原點 $O(0,0)$ 建立平面直角坐標系。 依題意，三件珠寶的坐標分別為： $$A(12, 0),\ \ B(4, a),\ \ C(a, -8)\ (a > 0)$$ 因為這三點位於同一直線上，所以向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{AB}$ 與 $\overset{\large\rightharpoonup}{AC}$ 平行（或斜率相等）： $$m_{AB} = m_{AC} \implies \frac{a - 0}{4 - 12} = \frac{-8 - 0}{a - 12} \implies \frac{a}{-8} = \frac{-8}{a - 12}$$ 交叉相乘整理得： $$a(a - 12) = 64 \implies a^2 - 12a - 64 = 0 \implies (a - 16)(a + 4) = 0$$ 因為 $a > 0$，故解得 $a = 16$。