95學測數學選填第15題詳解

因為 $ABCD$ 是圓內接四邊形，同弧所對的圓周角相等： - 弧 $\widehat{CD}$ 對的圓周角為 $\angle DAC = \angle DBC = 30^\circ$。 - 弧 $\widehat{AD}$ 對的圓周角為 $\angle ACD = \angle ABD = 45^\circ$。 在 $\triangle ACD$ 中，已知對邊與對角關係，可套用正弦定理： $$\dfrac{\overline{AD}}{\sin \angle ACD} = \dfrac{\overline{CD}}{\sin \angle DAC} \implies \dfrac{\overline{AD}}{\sin 45^\circ} = \dfrac{6}{\sin 30^\circ}$$ 代入數值： $$\overline{AD} = \dfrac{6 \times \sin 45^\circ}{\sin 30^\circ} = \dfrac{6 \times \dfrac{\sqrt{2}}{2}}{\dfrac{1}{2}} = 6\sqrt{2} = \sqrt{72}$$