95學測數學選填第14題詳解

設三點為 $P_1(-6,-2)$、$P_2(2,-1)$、$P_3(1,2)$。 1. 計算三點間的距離平方： $$\begin{aligned} \overline{P_1P_2}^{\,2}&=(2-(-6))^2+(-1-(-2))^2\\ &=8^2+1^2=65,\\ \overline{P_2P_3}^{\,2}&=(1-2)^2+(2-(-1))^2\\ &=(-1)^2+3^2=10,\\ \overline{P_1P_3}^{\,2}&=(1-(-6))^2+(2-(-2))^2\\ &=7^2+4^2=65. \end{aligned}$$ 2. 因為 $\overline{P_1P_2}^{\,2}=\overline{P_1P_3}^{\,2}=65$，所以 $\overline{P_1P_2}=\overline{P_1P_3}$。因此，$P_1$ 是菱形中兩條相鄰邊的共同端點。 將 $P_1$、$P_2$、$P_3$ 視為平行四邊形的三個頂點，利用對角線互相平分的性質： $$\begin{aligned} P_4+P_1&=P_2+P_3,\\ P_4&=P_2+P_3-P_1\\ &=(2,-1)+(1,2)-(-6,-2)\\ &=(9,3). \end{aligned}$$ 故第四點的坐標為 $(9,3)$。