93學測數學選填第19題詳解

圓心為 $C_0=(7,8)$、半徑為 $3$，且 $$ 10<\sqrt{113}<11. $$ 若原點與圓上點的距離為整數 $k$，兩圓的半徑分別為 $k$ 與 $3$，圓心距為 $\sqrt{113}$。相交條件是 $$ |k-3|<\sqrt{113}<k+3. $$ 由此可知 $$ \sqrt{113}-3<k<\sqrt{113}+3, $$ 也就是 $7<k<14$；整數 $k$ 為 $8,9,10,11,12,13$。對每個這些 $k$，嚴格相交條件均成立，因此各產生兩個交點。總數為 $$ 6\cdot2=12. $$