109指考數學甲選填第10題詳解

1. 設 $B = (x, y)$。因為 $P$ 在以 $\overline{AB}$ 為直徑的圓上，所以 $\angle APB = 90^\circ$，即 $\overset{\large\rightharpoonup}{PA} \perp \overset{\large\rightharpoonup}{PB}$。 2. 因為 $\overset{\large\rightharpoonup}{PA} = (1-4, 1-2) = (-3, -1)$，$\overset{\large\rightharpoonup}{PB} = (x-4, y-2)$，且 $\overset{\large\rightharpoonup}{PA} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{PB} = 0$， 所以 $(-3)(x-4) + (-1)(y-2) = 0$，即 $-3(x-4) - (y-2) = 0$。 化簡得 $y - 2 = -3(x-4)$，所以 $y = -3x + 14$。 3. 因為 $\overline{PB} = 3\sqrt{10}$，所以 $\overline{PB}^2 = 90$： $$(x-4)^2 + (y-2)^2 = 90$$ 4. 將 $y-2 = -3(x-4)$ 代入： 因為 $(x-4)^2 + [-3(x-4)]^2 = (x-4)^2 + 9(x-4)^2 = 10(x-4)^2 = 90$， 所以 $(x-4)^2 = 9$，得 $x-4 = 3$ 或 $x-4 = -3$。 5. 若 $x-4 = 3$，則 $x = 7$，$y = -3 \times 7 + 14 = -7$。點 $(7, -7)$ 在第四象限。 若 $x-4 = -3$，則 $x = 1$，$y = -3 \times 1 + 14 = 11$。點 $(1, 11)$ 在第一象限。 6. 因為點 $B$ 在第四象限，所以 $B$ 的坐標為 $(7, -7)$。 故填 $(7, -7)$。