96學測數學選填第16題詳解

因為 $A,P,B$ 都在以原點為圓心的單位圓上，且圓周角 $\angle APB=90^\circ$，所以 $\overline{AB}$ 必為此圓的直徑。於是 $B$ 是 $A$ 關於原點的對稱點： $$ B=-A=\left(\frac{12}{13},-\frac{5}{13}\right). $$ 故填 $\left(\frac{12}{13},-\frac{5}{13}\right)$。 另解 設 $B$ 點坐標為 $(x, y)$。因為 $B$ 落在單位圓上，滿足 $x^2 + y^2 = 1$。 又 $P = (1, 0)$，且 $A = (-\frac{12}{13}, \frac{5}{13})$。 向量分別為： $$\overset{\large\rightharpoonup}{PA} = A - P = (-\frac{12}{13} - 1, \frac{5}{13}) = (-\frac{25}{13}, \frac{5}{13})$$ $$\overset{\large\rightharpoonup}{PB} = B - P = (x - 1, y)$$ 因為 $\angle APB$ 為直角，故 $\overset{\large\rightharpoonup}{PA} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{PB} = 0$： $$-\frac{25}{13}(x - 1) + \frac{5}{13}y = 0 \implies -5(x - 1) + y = 0 \implies y = 5(x - 1)$$ 將其代入圓方程式 $x^2 + y^2 = 1$： $$x^2 + 25(x - 1)^2 = 1 \implies x^2 + 25(x^2 - 2x + 1) = 1 \implies 26x^2 - 50x + 24 = 0$$ $$13x^2 - 25x + 12 = 0 \implies (13x - 12)(x - 1) = 0$$ - 若 $x = 1$，則 $y = 0$，此時 $B$ 點與 $P$ 點重合，不符相異三點的條件。 - 若 $x = \frac{12}{13}$，則 $y = 5(\frac{12}{13} - 1) = -\frac{5}{13}$。 因此， $B$ 點的坐標為 $(\frac{12}{13}, -\frac{5}{13})$。