96學測數學選填第15題詳解

設第一排的座位數為 $a_1$，公差 $d = 2$。 第 $n$ 排的座位數為 $a_n = a_1 + (n-1)d$。 已知正中間那一排為第 $13$ 排，其座位數為 $a_{13} = 64$。 根據等差級數求和公式，前 $n$ 項和為： $$S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2}$$ 由於第 $13$ 排是第 $1$ 排至第 $25$ 排的正中間項，故： $$\dfrac{a_1 + a_{25}}{2} = a_{13} = 64$$ 開此區總座位數 $S_{25}$ 為： $$S_{25} = 25 \times \left(\dfrac{a_1 + a_{25}}{2}\right) = 25 \times 64 = 1600\text{ 個}$$ 另解 因為第 $13$ 排是 $25$ 排的中央排，且座位數以公差 $2$ 成等差數列，所以對稱的兩排座位數和都等於中央排的兩倍，也就是 $128$。 共有 $12$ 對對稱排，再加上第 $13$ 排，因此全區座位總數為 $$ 12\times128+64=1600. $$ 故填 $1600$。