89學測數學選填第12題詳解

1. 設第 $n$ 列的第一個數為 $a_n$。觀察數列： $$a_1 = 1$$ $$a_2 = 2 = a_1 + 1$$ $$a_3 = 4 = a_2 + 2$$ $$a_4 = 7 = a_3 + 3$$ $$a_5 = 11 = a_4 + 4$$ 因為相鄰列首數的差依序為 $1,2,3,\ldots$，所以這是一個階差數列，其一般項為： $$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} k = 1 + \frac{n(n-1)}{2}$$ 2. 要求第 $100$ 列的第三個數，先求第 $100$ 列的第一個數 $a_{100}$： $$a_{100} = 1 + \frac{100 \times 99}{2} = 1 + 4950 = 4951$$ 3. 第 $100$ 列的數是連續自然數，依序為：$4951, 4952, 4953, \dots$ 因此，第 $100$ 列的第三個數是 $4953$。