109指考數學甲選填第9題詳解

1. 因為點 $P$ 為三平面的交點，所以 $P$ 的坐標滿足： $$\begin{cases} x - 3y - 5z = 0 \\ x - 3y + 2z = 0 \\ x + y = t \end{cases}$$ 2. 將第一式與第二式相減：因為 $(x-3y-5z) - (x-3y+2z) = 0 - 0$，所以 $7z = 0$，得 $z = 0$。 3. 將 $z = 0$ 代入第一式：因為 $x - 3y - 5 \times 0 = 0$，所以 $x = 3y$。 4. 將 $x = 3y$ 代入第三式：因為 $3y + y = t$，所以 $4y = t$，得 $y = \frac{t}{4}$，$x = \frac{3t}{4}$。 5. 因此 $P$ 的坐標為 $(\frac{3t}{4}, \frac{t}{4}, 0)$。 6. 因為 $\overline{OP} = 10$，所以 $\overline{OP}^2 = 100$： $$(\dfrac{3t}{4})^2 + (\dfrac{t}{4})^2 + 0^2 = 100$$ 因為 $\frac{9t^2}{16} + \frac{t^2}{16} = \frac{10t^2}{16} = 100$，所以 $t^2 = 160$。 7. 因為 $t > 0$，所以 $t = \sqrt{160} = 4\sqrt{10}$。 故填 $4\sqrt{10}$。