102學測數學選填第15題詳解

因為 $A, B, C$ 三點共線，且 $C$ 不在 $A$、$B$ 之間。 已知 $\overline{AC} : \overline{BC} = 3:1$，表示 $A$ 到 $C$ 的距離是 $B$ 到 $C$ 的 $3$ 倍。 因此，$B$ 必位於線段 $\overline{AC}$ 之間，且將線段 $\overline{AC}$ 分成 $\overline{AB} : \overline{BC} = 2:1$ 的比例。 利用分點公式，點 $B(16,b)$ 可表示為： $$B = \frac{1 \cdot A + 2 \cdot C}{2 + 1}.$$ - $x$ 坐標： $$16 = \frac{a + 2(19)}{3} \implies 48 = a + 38 \implies a = 10.$$ - $y$ 坐標： $$b = \frac{3 + 2(12)}{3} = \frac{27}{3} = 9.$$ 所以 $a + b = 10 + 9 = 19$。