101指考數學甲單選第5題詳解

將直線方程式 $2x+y=3$ 寫為 $y = 3 - 2x$。 代入 $K$ 的算式： $$K = 9^x + 3^y = (3^2)^x + 3^{3-2x} = 3^{2x} + \frac{27}{3^{2x}}$$ 令 $u = 3^{2x}$，因為 $x$ 是實數，所以 $u > 0$。 $$K = u + \frac{27}{u}$$ 由算幾不等式（AM-GM inequality）： $$u + \frac{27}{u} \ge 2 \sqrt{u \cdot \frac{27}{u}} = 2 \sqrt{27} = 6\sqrt{3}$$ 等號成立條件為 $u = \frac{27}{u} \implies u^2 = 27 \implies u = \sqrt{27} = 3^{\frac{3}{2}}$。 此時 $3^{2x} = 3^{\frac{3}{2}} \implies 2x = \frac{3}{2} \implies x = \frac{3}{4}$，為實數，因此最小值為 $6\sqrt{3}$。 由於 $x$ 可以是任意大的實數， $u = 3^{2x}$ 可以趨近於無限大，因此 $K$ 沒有最大值。 故選 $(4)$。