101指考數學甲單選第4題詳解

設 $M = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}$ 且 $M^{-1} = \begin{bmatrix} a' & b' & c' \\ d' & e' & f' \\ g' & h' & i' \end{bmatrix}$。因為 矩陣 $P$ 的列是由 $M$ 的列經由以下列排列（Row Permutation）得到： 列 $1$ 的 $P$ 為列 $3$ 的 $M$； 列 $2$ 的 $P$ 為列 $1$ 的 $M$； 列 $3$ 的 $P$ 為列 $2$ 的 $M$。 也就是 $P = E M$，其中置換矩陣 $E = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$。 所以，其反方陣為： $$P^{-1} = (E M)^{-1} = M^{-1} E^{-1}$$ 計算 $E^{-1} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$（即 $E^T$）。 將 $M^{-1}$ 右乘 $E^{-1}$ 會將 $M^{-1}$ 的行進行置換（Column Permutation）： 行 $1$ 的 $P^{-1}$ 為行 $3$ 的 $M^{-1}$； 行 $2$ 的 $P^{-1}$ 為行 $1$ 的 $M^{-1}$； 行 $3$ 的 $P^{-1}$ 為行 $2$ 的 $M^{-1}$。 所以： $$P^{-1} = \begin{bmatrix} c' & a' & b' \\ f' & d' & e' \\ i' & g' & h' \end{bmatrix}$$ 所以選 $(5)$。