99指考數學甲單選第3題詳解

1. 給定 $A=\begin{bmatrix}a & b\\c & -a\end{bmatrix}$，$\det(A)=-a^2-bc=1$，且 $\operatorname{tr}(A)=a+(-a)=0$。 2. 由凱萊－哈密頓定理： $$A^2-\operatorname{tr}(A)A+\det(A)I=O\;\implies\; A^2+I=O\;\implies\; A^2=-I$$ 3. 因為 $\det(A)=1\neq 0$，所以 $A^{-1}$ 存在。將 $A^2=-I$ 兩端左乘 $A^{-1}$ 得 $A=-A^{-1}$，即 $A^{-1}=-A$。 4. 因此 $$A-A^{-1}=A-(-A)=2A$$ 取行列式： $$\det(A-A^{-1})=\det(2A)=2^2\det(A)=4\times 1=4$$ 故選 $(4)$。