95指考數學甲選填第9題詳解

1. 根據矩陣乘法，給定兩個條件可以合併寫成： $$A \begin{bmatrix} 7 & 9 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 5 \end{bmatrix}$$ 令矩陣 $M = \begin{bmatrix} 7 & 9 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，則： $$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 5 \end{bmatrix} M^{-1}$$ 2. 對照題目中給出的表示式： $$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix}$$ 可得： $$\begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix} = M^{-1}$$ 3. 接著求 $M$ 的反矩陣 $M^{-1}$。首先計算行列式： $$\det(M) = 7 \times 4 - 9 \times 3 = 28 - 27 = 1$$ 所以： $$M^{-1} = \dfrac{1}{1} \begin{bmatrix} 4 & -9 \\ -3 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -9 \\ -3 & 7 \end{bmatrix}$$ 由此對應可得： $$a = 4, \ b = -3, \ c = -9, \ d = 7$$