95指考數學甲選填第8題詳解

1. 設球面 $S$ 的圓心為 $(x_0, y_0, z_0)$，半徑為 $R$。 球面 $S$ 在 $xy$ 平面（即 $z=0$）的截線為圓，其方程式為： $$(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = R^2 - z_0^2$$ 由已知此圓的圓心為 $(2, 3, 0)$，半徑為 $\sqrt{13}$，可得： $$x_0 = 2, \ y_0 = 3, \ R^2 - z_0^2 = 13 \implies R^2 = z_0^2 + 13$$ 2. 又球面 $S$ 通過點 $(6, 6, 6)$，將點代入球面方程式得： $$(6-2)^2 + (6-3)^2 + (6-z_0)^2 = R^2$$ $$16 + 9 + (6-z_0)^2 = R^2 \implies 25 + (6-z_0)^2 = R^2$$ 3. 將 $R^2 = z_0^2 + 13$ 代回上式，展開並求解 $z_0$： $$25 + 36 - 12z_0 + z_0^2 = z_0^2 + 13$$ $$61 - 12z_0 = 13 \implies 12z_0 = 48 \implies z_0 = 4$$ 代入求得半徑平方： $$R^2 = 4^2 + 13 = 29 \implies R = \sqrt{29}$$