97指考數學甲選填第10題詳解

1. 設球面 $S$ 球心為 $(x_0,y_0,z_0)$，半徑為 $R$。與平面 $z=c$ 相交的圓半徑 $r$ 滿足： $$r^2=R^2-(c-z_0)^2$$ 圓面積為 $\pi r^2=\pi[R^2-(c-z_0)^2]$。 2. 由題意，$z=4$ 和 $z=8$ 的相交圓面積皆為 $36\pi$： \begin{aligned} R^2-(4-z_0)^2&=36\\[4pt] R^2-(8-z_0)^2&=36 \end{aligned} 兩式相減：$(8-z_0)^2-(4-z_0)^2=0$，$(12-2z_0)\times 4=0$，$z_0=6$。 代入求 $R^2$：$R^2=36+(4-6)^2=36+4=40$。 因為 $z=7$ 時的相交圓面積為 $\pi[R^2-(7-6)^2]=\pi(40-1)=39\pi$，所以答案為 $39\pi$。