97指考數學甲非選第11題詳解

1. 設 $p(x)=ax^3+bx^2+cx+d$，則 $p'(x)=3ax^2+2bx+c$。 2. 依題意列出四個方程式： $$p(1)=a+b+c+d=3 \tag{式1}$$ $$p(-1)=-a+b-c+d=5 \tag{式2}$$ $$p'(1)=3a+2b+c=7 \tag{式3}$$ $$p'(-1)=3a-2b+c=-5 \tag{式4}$$ 3. 解方程組：由（式3）減（式4）得 $4b=12$，所以 $b=3$。由（式1）加（式2）得 $2b+2d=8$，故 $d=1$。由（式1）減（式2）得 $a+c=-1$。將 $b=3$ 代入（式3）得 $3a+c=1$，兩式相減得 $a=1$，進而 $c=-2$。 因此 $p(x)=x^3+3x^2-2x+1$。