105指考數學甲單選第4題詳解

1. 因為二次函數 $y=ax^2+bx$ 與一次函數 $y=ax+b$ 的圖形相切，所以聯立方程式恰有一解： $$ax^2+bx = ax+b \implies ax^2+(b-a)x-b = 0$$ 此二次方程式須有重根，故判別式 $D=0$： $$D = (b-a)^2 - 4a(-b) = (b-a)^2 + 4ab = b^2-2ab+a^2+4ab = b^2+2ab+a^2 = (b+a)^2 = 0$$ 因為 $(b+a)^2=0$，所以 $b=-a$。 2. 將 $b=-a$ 代回聯立方程式： $$ax^2+(-a-a)x-(-a)=0 \implies ax^2-2ax+a=0$$ 因為 $a\neq 0$，同除以 $a$ 得 $x^2-2x+1=0$，即 $(x-1)^2=0$，所以 $x=1$。 3. 將 $x=1$、$b=-a$ 代入一次函數 $y=ax+b$： $$y = a(1)+(-a)=0$$ 所以切點坐標為 $(1,0)$，此點在 $x$ 軸上。故選 $(1)$。