103學測數學選填第14題詳解

1. 因為直線 $y = ax + b$ 與二次函數 $y = x^2$ 恰交於一點，聯立得： $$x^2 = ax + b \implies x^2 - ax - b = 0$$ 此二次方程式恰有一實根，其判別式為 $0$： $$D_1 = a^2 - 4(1)(-b) = a^2 + 4b = 0 \implies 4b = -a^2$$ 2. 直線 $y = ax + b$ 與二次函數 $y = (x-2)^2 + 12 = x^2 - 4x + 16$ 恰交於一點，聯立得： $$x^2 - 4x + 16 = ax + b \implies x^2 - (a+4)x + (16-b) = 0$$ 此二次方程式亦恰有一實根，其判別式為 $0$： $$D_2 = (a+4)^2 - 4(1)(16-b) = a^2 + 8a + 16 - 64 + 4b = a^2 + 8a - 48 + 4b = 0$$ 3. 將 $4b = -a^2$ 代入 $D_2 = 0$ 中，消去 $b$ 得： $$a^2 + 8a - 48 - a^2 = 0 \implies 8a - 48 = 0 \implies a = 6$$ 4. 將 $a = 6$ 代回 $4b = -a^2$ 得： $$4b = -36 \implies b = -9$$ 所以 $a = 6$，$b = -9$。