103學測數學選填第13題詳解

在直角三角形 $\triangle ODC$ 中，因為 $\overline{CD}$ 切圓 $O$ 於 $D$ 點，所以 $\angle ODC = 90^\circ$。 已知半徑 $\overline{OD} = 24$，且 $\overline{OC} = 26$。 根據畢氏定理可得：$$\overline{CD} = \sqrt{\overline{OC}^2 - \overline{OD}^2} = \sqrt{26^2 - 24^2} = \sqrt{676 - 576} = 10$$在直角三角形 $\triangle OBA$ 中，因 $B$ 為 $A$ 到 $\overline{OD}$ 的垂足，所以 $\angle OBA = 90^\circ$。 因此，$\triangle OBA \sim \triangle ODC$（因為共用角 $\angle AOB = \angle COD$，且 $\angle OBA = \angle ODC = 90^\circ$，滿足 $\overline{AA}$ 相似）。 由對應邊長成比例可得：$$\frac{\overline{AB}}{\overline{CD}} = \frac{\overline{OA}}{\overline{OC}}$$其中 $\overline{OA} = 24$（圓的半徑），$\overline{OC} = 26$，$\overline{CD} = 10$。代入得：$$\frac{\overline{AB}}{10} = \frac{24}{26} = \frac{12}{13} \implies \overline{AB} = \frac{120}{13}$$故填 $\frac{120}{13}$。