100學測數學選填第17題詳解

因為 $\angle DAB = \angle BCD = 90^\circ$，所以在 $\triangle ABD$ 與 $\triangle BCD$ 中： \begin{align*} \overline{BD}^2 &= \overline{AB}^2 + \overline{AD}^2 = 1^2 + 7^2 = 50,\\ \overline{BD}^2 &= \overline{BC}^2 + \overline{CD}^2 = 5^2 + 5^2 = 50. \end{align*} 兩者一致，驗證了幾何條件自洽。 2. 以 $A$ 為原點，$\overrightarrow{AB}$ 為 $x$ 軸正向，$\overrightarrow{AD}$ 為 $y$ 軸正向建立坐標系：$A = (0,0)$、$B = (1,0)$、$D = (0,7)$。 3. 點 $C$ 滿足 $\overline{CB} = \overline{CD} = 5$。設 $C = (x, y)$，則 \begin{align*} (x-1)^2 + y^2 &= 25,\\ x^2 + (y-7)^2 &= 25. \end{align*} 相減得 $2x - 14y + 48 = 0$，即 $x - 7y + 24 = 0$。 代入得 $(7y - 24 - 1)^2 + y^2 = 25 \implies (7y - 25)^2 + y^2 = 25 \implies 50y^2 - 350y + 600 = 0$。 解得 $y = 3$ 或 $y = 4$；對應 $x = -3$ 或 $x = 4$。因為 $C$ 與 $A$ 不在 $\overline{BD}$ 同側，取 $C = (4, 4)$。 4. 對角線 $\overline{AC} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32}$。 故填 $\sqrt{32}$。