100學測數學選填第18題詳解

設目前 $A$、$B$、$C$ 三種物質的質量分別為 $a$、$b$、$c$ 公克。 目前輻射強度為 $8$ 單位：$a \cdot 1 + b \cdot 2 + c \cdot 1 = 8$，即 $$a + 2b + c = 8. \; \cdots\text{（式1）}$$ 2. 半年前各物質質量為 $2a$、$3b$、$4c$（因 $A$ 每半年變為 $\frac{1}{2}$，反推得半年前為 $2$ 倍），輻射強度為 $22$： $$2a \cdot 1 + 3b \cdot 2 + 4c \cdot 1 = 22 \implies 2a + 6b + 4c = 22 \implies a + 3b + 2c = 11. \; \cdots\text{（式2）}$$ 3. 一年前各物質質量為 $4a$、$9b$、$16c$，輻射強度為 $66$： $$4a \cdot 1 + 9b \cdot 2 + 16c \cdot 1 = 66 \implies 4a + 18b + 16c = 66 \implies 2a + 9b + 8c = 33. \; \cdots\text{（式3）}$$ 4. 因為（式2）減去（式1）得 $(a+3b+2c) - (a+2b+c) = 11 - 8$，所以 $b + c = 3$，即 $c = 3 - b$。 5. 將 $c = 3 - b$ 代入（式3）： （式3）$-$ 2$\times$（式1）：$(2a+9b+8c) - 2(a+2b+c) = 33 - 16 \implies 5b + 6c = 17$。 代入 $c = 3 - b$：$5b + 6(3-b) = 17 \implies 5b + 18 - 6b = 17 \implies -b = -1 \implies b = 1$。 6. 代回：$c = 3 - 1 = 2$，$a = 8 - 2 \cdot 1 - 2 = 4$。 故填 $4$，$1$，$2$。