101學測數學多選第9題詳解

在正三角形 $ABC$ 的三邊上各選取一個三等分點，每一邊有 $2$ 個選擇，所以可能連成的三角形總數為： $$2 \times 2 \times 2 = 8\text{ 個}$$ 故選項 $(1)$ 正確。 我們將這 $8$ 個三角形進行分類： 1. 同側選點（正三角形）： 若選擇的三個點皆為同方向的等分點（均靠近逆時針方向或均靠近順時針方向），如圖所連成的三角形為正三角形（即銳角三角形）。此類三角形恰有 $2$ 個。故選項 $(2)$ 正確，選項 $(5)$ 錯誤（應為 $2$ 個）。 2. 異側選點（直角三角形）： 其餘的 $8 - 2 = 6$ 個三角形。此時必有兩邊是選在同側、一邊選在異側。 設其中一個三角形的頂點到大三角形頂點的距離分別為 $1$ 與 $2$，夾角為 $60^\circ$。由餘弦定理可求得此三角形之一邊長為： $$\sqrt{1^2 + 2^2 - 2 \times 1 \times 2 \times \cos 60^\circ} = \sqrt{1 + 4 - 2} = \sqrt{3}$$ 另外兩邊長度可算得為 $2$ 與 $\sqrt{7}$。 因為 $(\sqrt{3})^2 + 2^2 = 3 + 4 = 7 = (\sqrt{7})^2$，符合畢氏定理，故此 $6$ 個三角形皆為直角三角形。 所以，直角三角形恰有 $6$ 個（選項 $(3)$ 錯誤），鈍角三角形有 $0$ 個（選項 $(4)$ 錯誤）。 綜上所述，正確選項為 $(1), (2)$。