101學測數學多選第8題詳解

因為 $f(x)$ 為實係數多項式，且已知虛數 $i$ 為方程式之一根（即 $f(i) = 0$）： 1. 共軛複數根定理：實係數多項式方程的虛根必成對出現。因此 $i$ 的共軛複數 $-i$ 亦為方程式的根。故選 $(1)$。 2. 求多項式係數： 因為 $i$ 與 $-i$ 是根，多項式 $f(x)$ 必含有因式 $(x-i)(x+i) = x^2 + 1$。 以 $x^2 + 1$ 去除 $f(x) = x^4 - 5x^3 + x^2 + ax + b$，利用長除法： $$x^4 - 5x^3 + x^2 + ax + b = (x^2 + 1)(x^2 - 5x) + (a+5)x + b$$ 由於可整除，餘式 $(a+5)x + b$ 必為零，所以 $a = -5$ 且 $b = 0$。 3. 求所有根： 此時多項式可分解為： $$f(x) = (x^2 + 1)(x^2 - 5x) = x(x-5)(x^2 + 1)$$ 令 $f(x) = 0$，可求得其根為 $x = 0, 5, i, -i$。 故選項 $(1), $(2)$, (5)$ 是正確的根。