111分科測驗數學甲多選第4題詳解

因為 $g(x)$ 整除 $f(x)$，所以存在 $h(x)=x+k$ 使得 $f(x)=g(x)h(x)$。 展開： $$(x^2+ax+1)(x+k) = x^3+(a+k)x^2+(ak+1)x+k.$$ 比較 $f(x)=x^3+2x^2-2x+k$ 的係數： $$\begin{cases} a+k = 2,\\ ak+1 = -2. \end{cases}$$ 由 $ak+1=-2$ 得 $ak=-3$，配合 $a+k=2$，解得 $$(a,k) = (-1,3)\;\text{或}\;(3,-1).$$ 因為 $g(x)=0$ 有虛根，所以判別式 $a^2-4<0$，即 $|a|<2$。 因此 $a=-1$，$k=3$。 於是 $g(x)=x^2-x+1$，而 $$f(x) = (x+3)(x^2-x+1).$$ $f(x)=0$ 的根為 $x=-3$、$x=\frac{1\pm\sqrt{-3}}{2}$。 檢驗各選項： $(1)$ $-3$：是根，正確。 $(2)$ $0$：$f(0)=k=3\neq0$，錯誤。 $(3)$ $1$：$f(1)=1+2-2+3=4\neq0$，錯誤。 $(4)$ $\frac{1+\sqrt{-3}}{2}$：是根，正確。 $(5)$ $\frac{3+\sqrt{-5}}{2}$：非根，錯誤。 故選 $(1)(4)$。