111分科測驗數學甲單選第3題詳解

設 $P=(x,y,z)$。因為 $P$ 在第一卦限且 $\overline{OP}=1$，所以 $$x^2+y^2+z^2=1,, x>0,\;y>0,\;z>0.$$ 因為直線 $OP$ 與 $x$ 軸的夾角為 $45^\circ$， 所以 $\overset{\large\rightharpoonup}{OP}$ 的方向餘弦滿足 $$\cos45^\circ = \frac{x}{|\overset{\large\rightharpoonup}{OP}|} = x,$$ 因此 $x = \frac{\sqrt2}{2}$。 因為 $P$ 到 $y$ 軸的距離為 $\frac{\sqrt6}{3}$，而到 $y$ 軸的距離公式為 $\sqrt{x^2+z^2}$， 所以 $$x^2+z^2 = \left(\frac{\sqrt6}{3}\right)^2 = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}.$$ 代入 $x^2=\frac{1}{2}$： $$\frac{1}{2}+z^2 = \frac{2}{3} \implies z^2 = \frac{1}{6}.$$ 因為 $z>0$，所以 $z = \frac{\sqrt6}{6}$。 檢驗各選項： $(1)$ $\frac{1}{2} \neq \frac{\sqrt6}{6}$。 $(2)$ $\frac{\sqrt2}{4} \neq \frac{\sqrt6}{6}$。 $(3)$ $\frac{\sqrt3}{3} \neq \frac{\sqrt6}{6}$。 $(4)$ $\frac{\sqrt6}{6}$，正確。 $(5)$ $\frac{\sqrt3}{6} \neq \frac{\sqrt6}{6}$。 故選 $(4)$。