113學測數學B選填第16題詳解

球心 $O(0,0,0)$，北極 $N(0,0,2)$，半徑 $R=2$。點 $A(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},\sqrt{3})$，其水平投影為 $(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},0)$，長度為 $\sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2+(\frac{1}{2})^2}=1$。 赤道為 $z=0$ 平面上半徑 $2$ 的圓。赤道上距離 $A$ 最遠的點 $P$，其水平分量應與 $A$ 的水平分量方向相反、長度為 $2$。因此 $P=(-\sqrt{3},-1,0)$。 $$\cos\angle AOP=\frac{\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP}}{|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OP}|}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot(-\sqrt{3})+\frac{1}{2}\cdot(-1)+\sqrt{3}\cdot0}{2\cdot 2}=\frac{-\frac{3}{2}-\frac{1}{2}}{4}=-\frac{1}{2}$$ 因為 $\cos\angle AOP=-\frac{1}{2}$，所以 $\angle AOP=\frac{2\pi}{3}$。劣弧長為 $R\cdot\angle AOP=2\times\frac{2\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}$。 故填 $\frac{4}{3}$。