104學測數學多選第6題詳解

設 $f(x) = x^2 + bx + c$，其中 $b, c$ 為實數。 $(1)$ 若 $f$(2)$ = 0$，因為根據因式定理，$(x-2)$ 整除 $f(x)$，所以 $(1)$ 正確。 $(2)$ 反例：$f(x) = (x-2)(x-\sqrt{2}) = x^2 - (2+\sqrt{2})x + 2\sqrt{2}$，雖滿足首項係數 $1$ 且 $f$(2)$=0$，但係數不全為整數，錯誤。 $(3)$ 反例：$f(x) = (x-\sqrt{2})(x-1)$，則 $f(\sqrt{2}) = 0$，但 $f(-\sqrt{2}) = (-\sqrt{2}-\sqrt{2})(-\sqrt{2}-1) = (-2\sqrt{2})(-\sqrt{2}-1) eq 0$，錯誤。 $(4)$ 因為實係數二次多項式的虛根成對出現：若 $2i$ 為一根，則共軛 $-2i$ 也為一根，所以 $(4)$ 正確。 $(5)$ 若 $f(x) = (x+i)(x-i) = x^2 + 1$，則 $f(x)$ 的係數全為實數（首項係數 $1$），正確。 因此正確選項為 $(1)$(4)$(5)$。