104學測數學多選第7題詳解

四點坐標：$A(-1, 0.5)$、$B(0, 1)$、$C(1, 2)$、$D(2, 4)$。 $(1)$ 直線 $AC$ 斜率 $= \frac{2-0.5}{1-(-1)} = \frac{1.5}{2} = 0.75$。 方程式：$y - 0.5 = 0.75(x + 1)$，即 $y = 0.75x + 1.25$。 當 $x = 0$ 時，$y_{AC} = 1.25 > y_B = 1$，所以 $B$ 點在直線 $AC$ 下方，正確。 $(2)$ 計算各段斜率： $m_{AB} = \frac{1-0.5}{0-(-1)} = 0.5$ $m_{BC} = \frac{2-1}{1-0} = 1$ $m_{CD} = \frac{4-2}{2-1} = 2$ 因為 $0.5 < 1 < 2$，所以確實遞增，正確。 $(3)$ 指數函數 $y = 2^x$ 為凹向上（二階導數 $2^x(\ln 2)^2 > 0$），圖形在弦的上方，錯誤。 $(4)$ 直線 $AD$ 斜率 $= \frac{4-0.5}{2-(-1)} = \frac{3.5}{3} \approx 1.167$。 直線 $AB$ 斜率 $= 0.5$。 因為兩者不同，所以 $A$、$B$、$D$ 不共線，正確。 $(5)$ 指數函數凹向上，弦在圖形上方，所以 $\triangle ABC$ 的頂點都在 $y=2^x$ 上或上方，但 $B$ 在弦之下不代表三角形在圖形下方，錯誤。 因此正確選項為 $(1)$(2)$(4)$。