104學測數學多選第8題詳解

漸近線為 $y = \pm x$ 代表這是一條等軸（直角）雙曲線。 - $(1)$ 對：其標準方程式可寫為 $\frac{x^2}{r^2} - \frac{y^2}{r^2} = 1$ 或 $\frac{y^2}{r^2} - \frac{x^2}{r^2} = 1$，其中 $r$ 為非零實數。 - $(2)$ 對：因為方程式分母相同，故貫軸長與共軛軸長相等。 - $(3)$ 錯：以 $x^2 - y^2 = r^2$ 為例，第一象限點 $(a,b)$ 滿足 $b = \sqrt{a^2-r^2}$。雖然 $$a-b = \frac{r^2}{a+b}$$ 但 $r$ 可任意大，僅知道 $a > 1000$ 並不能保證 $|a-b| < 1$。 - $(4)$ 對：在第一象限上，若為 $x^2 - y^2 = r^2$，則 $b = \sqrt{a^2 - r^2}$；若為 $y^2 - x^2 = r^2$，則 $b = \sqrt{a^2 + r^2}$。兩者在其第一象限定義域內皆隨 $a$ 增加而增加，所以因此 $a' > a$ 必有 $b' > b$。 - $(5)$ 對：兩種標準方程式都只含 $x^2$ 與 $y^2$，因此同時對稱於 $x$ 軸與 $y$ 軸。 因此正確的選項為 $(1)(2)(4)(5)$。