106學測數學單選第3題詳解

1. 雙曲線 $\Gamma$ 通過第一象限的漸近線為 $L$：$y = \frac{b}{a} x$，即 $x = \frac{a}{b} y$。 動點 $(t^2, t)$ 的軌跡方程式為 $x = y^2$（其中 $y = t > 0$）。 2. 求與漸近線 $L$ 的交點： 令 $y^2 = \frac{a}{b} y$，因為 $y > 0$，得 $y_L = \frac{a}{b}$。 此解存在且唯一，所以動點必會碰到漸近線 $L$。 3. 求與雙曲線 $\Gamma$ 的交點： 將 $x = y^2$ 代入 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 得 $$\frac{y^4}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} - 1 = 0.$$ 設 $Y = y^2 > 0$，方程式為 $\frac{1}{a^2} Y^2 - \frac{1}{b^2} Y - 1 = 0$。 因為常數項為負，此二次方程式必有唯一正實根 $Y_\Gamma$， 得 $y_\Gamma = \sqrt{Y_\Gamma}$ 存在且唯一，所以動點也必會碰到雙曲線 $\Gamma$。 4. 比較先後順序：因為 $y_L = \frac{a}{b}$ 而 $y_\Gamma$ 滿足 $\frac{y_\Gamma^4}{a^2} - \frac{y_\Gamma^2}{b^2} = 1$， 可得 $y_\Gamma > y_L$，所以動點會先碰到 $L$，再碰到 $\Gamma$。 故選 $(5)$。