題目
在右下圖的正立方體上有兩質點分別自頂點 $A, C$ 同時出發，各自以等速直線運動分別向頂點 $B, D$ 前進，且在 $1$ 秒後分別同時到達 $B, D$。請選出這段時間兩質點距離關係的正確選項。
正立方體上的質點運動
- 兩質點的距離固定不變
- 兩質點的距離越來越小
- 兩質點的距離越來越大
- 在 $\dfrac{1}{2}$ 秒時兩質點的距離最小
- 在 $\dfrac{1}{2}$ 秒時兩質點的距離最大
詳解
1. 設正立方體邊長為 $1$，建立空間直角坐標系：
各頂點設為 $A(1,0,1)$、$B(0,0,1)$、$C(1,1,0)$、$D(1,0,0)$。
2. 在時間 $t$（$0 \le t \le 1$）時，兩質點的坐標分別為：
質點 1（從 $A$ 到 $B$）：$P(t) = (1-t,\,0,\,1)$；
質點 2（從 $C$ 到 $D$）：$Q(t) = (1,\,1-t,\,0)$。
3. 兩質點的距離平方為
$$\begin{aligned}
d(t)^2 &= ((1-t)-1)^2 + (0-(1-t))^2 + (1-0)^2 \\
&= (-t)^2 + (t-1)^2 + 1 \\
&= 2t^2 - 2t + 2 \\
&= 2\Bigl(t - \frac{1}{2}\Bigr)^2 + \frac{3}{2}.
\end{aligned}$$
4. 因為 $d(t)^2$ 在 $t = \frac{1}{2}$ 時有最小值 $\frac{3}{2}$，
所以在 $\frac{1}{2}$ 秒時兩質點的距離最小。
故選 $(4)$。
題目來源：民國106年學測數學 第4題（來源PDF第1頁）
資料版本：2026-06-29（commit 2a28ae7a）
校對狀態：人工抽查——本卷試題經人工抽樣檢查；非逐題逐字校對。
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引用本站：大考雷達站，〈106學測數學單選第4題詳解〉，資料版本 2026-06-29，https://twmath.com/questions/106_02M_q04
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