題目
坐標空間中 $xy$ 平面上有一正方形，其頂點為 $O(0,0,0)$，$A(8,0,0)$，$B(8,8,0)$，$C(0,8,0)$。另一點 $P$ 在 $xy$ 平面的上方，且與 $O,A,B,C$ 四點的距離皆等於 $6$。若 $x+by+cz=d$ 為通過 $A,B,P$ 三點的平面，則 $(b,c,d) = $ (____, ____, ____)。
詳解
1. $P$ 在 $xy$ 平面上方，且與 $O,A,B,C$ 四點等距。正方形中心為 $(4,4,0)$，因為 $P$ 到四頂點等距，所以 $P$ 必在通過中心且垂直 $xy$ 平面的直線上，設 $P=(4,4,z)$，$z>0$。
2. 由 $\overline{OP}=6$：
\begin{aligned}
\sqrt{4^2+4^2+z^2}&=6\\[4pt]
32+z^2&=36\\[4pt]
z^2&=4\;\implies\;z=2
\end{aligned}
故 $P=(4,4,2)$。
3. 平面 $x+by+cz=d$ 通過 $A(8,0,0)$：$8+0+0=d\;\implies\;d=8$。
通過 $B(8,8,0)$：$8+8b+0=8\;\implies\;8b=0\;\implies\;b=0$。
通過 $P(4,4,2)$：$4+0+2c=8\;\implies\;2c=4\;\implies\;c=2$。
故 $(b,c,d)=(0,2,8)$。
題目來源：民國98年學測數學 第18題（來源PDF第6頁）
資料版本：2026-06-29（commit 2a28ae7a）
校對狀態：人工抽查——本卷試題經人工抽樣檢查；非逐題逐字校對。
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引用本站：大考雷達站，〈98學測數學選填第18題詳解〉，資料版本 2026-06-29，https://twmath.com/questions/098_02M_q18
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