98學測數學選填第19題詳解

1. 設橢圓半長軸為 $a$，半短軸為 $b$，半焦距為 $c$，則 $a^2-b^2=c^2$。雙曲線與橢圓共焦點，且雙曲線貫軸長等於橢圓短軸長 $2b$，故雙曲線半貫軸為 $b$。 2. 交點 $P$ 同時在橢圓與雙曲線上： 橢圓定義：$\overline{PF_1}+\overline{PF_2}=2a$ 雙曲線定義：$|\overline{PF_1}-\overline{PF_2}|=2b$ 3. 兩式平方後相減： \begin{aligned} (\overline{PF_1}+\overline{PF_2})^2-(\overline{PF_1}-\overline{PF_2})^2&=(2a)^2-(2b)^2\\[4pt] 4\,\overline{PF_1}\cdot\overline{PF_2}&=4(a^2-b^2)=4c^2 \end{aligned} 4. 因為 $\overline{PF_1}\times\overline{PF_2}=64$，所以 $c^2=64$，$c=8$。因此 $\overline{F_1F_2}=2c=16$。