101學測數學選填第19題詳解

因為焦點 $F_1(0,2)$ 與 $F_2(0,-2)$ 位於 $y$ 軸上，該橢圓的長軸在 $y$ 軸上（即 $n > m$）： 1. 半焦距 $c$： $$2c = \overline{F_1F_2} = 4 \implies c = 2 \implies c^2 = n - m = 4$$ 2. 正三角形條件與定義： 因為 $P$ 點在橢圓上，且 $\triangle P F_1 F_2$ 為一正三角形，其邊長等於焦距 $4$，所以： $$\overline{PF_1} = 4\text{ 且 } \overline{PF_2} = 4$$ 根據橢圓的定義，橢圓上任一點到兩焦點的距離和為長軸長 $2\sqrt{n}$： $$\overline{PF_1} + \overline{PF_2} = 2\sqrt{n} \implies 4 + 4 = 8 = 2\sqrt{n} \implies \sqrt{n} = 4 \implies n = 16$$ 3. 求 $m$ 的值： 將 $n=16$ 代入 $n - m = 4$： $$16 - m = 4 \implies m = 12$$ 故 $m = 12$，$n = 16$。