99學測數學單選第7題詳解

1. $\Gamma_1:\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$：$a_1=5$，長軸長 $l_1=2a_1=10$。 2. $\Gamma_2:\frac{x^2}{50}+\frac{y^2}{18}=1$：$a_2=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$，長軸長 $l_2=2a_2=10\sqrt{2}$。 3. $\Gamma_3:\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=\frac{2x}{5}$，配方： $$\begin{aligned} \frac{x^2}{25}-\frac{2x}{5}+\frac{y^2}{9}&=0\\[4pt] \implies\;\frac{x^2-10x+25}{25}+\frac{y^2}{9}&=\frac{25}{25}\\[4pt] \implies\;\frac{(x-5)^2}{25}+\frac{y^2}{9}&=1 \end{aligned}$$ 因為配方後僅將 $\Gamma_1$ 向右平移 $5$ 單位，長軸長不變，所以 $l_3=10$。 4. 比較得 $l_1=l_3=10<10\sqrt{2}=l_2$。 故選 $(4)$。