99學測數學單選第6題詳解

1. 球面 $S$ 的方程式為 $x^2+y^2+z^2=16$，點 $A$ 為 $(1,2,1)$。對任意 $P(x,y,z)\in S$，內積條件為 $$\overset{\large\rightharpoonup}{OA}\cdot\overset{\large\rightharpoonup}{OP}=x+2y+z=6$$ 由此可知，滿足條件之點 $P$ 即為球面 $S$ 與平面 $E:x+2y+z=6$ 的交集。 2. 計算球心 $O(0,0,0)$ 到平面 $E:x+2y+z-6=0$ 的距離： $$d=\frac{|0+2\cdot 0+0-6|}{\sqrt{1^2+2^2+1^2}}=\frac{6}{\sqrt{6}}=\sqrt{6}$$ 3. 因為 $d=\sqrt{6}<4$（球半徑），所以平面 $E$ 與球面 $S$ 相交，交集為一個圓。 故選 $(4)$。