設平面 $P$ 通過 $O(0,0,0)$、$A(1,2,3)$ 及 $B(-1,2,3)$。
因為 $P$ 過原點，所以法向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{n} = \overset{\large\rightharpoonup}{OA} \times \overset{\large\rightharpoonup}{OB}$。
$$\begin{aligned}
\overset{\large\rightharpoonup}{n} &= (1,2,3) \times (-1,2,3) \\
&= (2 \times 3 - 3 \times 2,\; 3 \times (-1) - 1 \times 3,\; 1 \times 2 - 2 \times (-1)) \\
&= (0,\; -6,\; 4)
\end{aligned}$$
可取 $\overset{\large\rightharpoonup}{n} = (0,\; 3,\; -2)$。平面 $P$ 的方程式為 $3y - 2z = 0$（代入 $A$、$B$ 驗證成立）。
選項 $(1)$：
因為向量 $(0,3,2)$ 與法向量 $(0,3,-2)$ 不平行，所以 $(0,3,2)$ 不與平面 $P$ 垂直。
選項 $(2)$：
因為 $xy$ 平面（$z=0$）的法向量為 $(0,0,1)$，而 $(0,3,-2) \cdot (0,0,1) = -2 \neq 0$，所以兩平面不垂直。
選項 $(3)$：
因為代入 $(0,4,6)$：$3 \times 4 - 2 \times 6 = 12 - 12 = 0$，所以點 $(0,4,6)$ 在平面 $P$ 上。
選項 $(4)$：
因為 $x$ 軸上任一點 $(t,0,0)$ 代入 $3 \times 0 - 2 \times 0 = 0$ 恆成立，所以 $x$ 軸完全落在平面 $P$ 上。
選項 $(5)$：
因為點 $(1,1,1)$ 到平面 $P$ 的距離為 $\frac{|3 \times 1 - 2 \times 1|}{\sqrt{3^2 + (-2)^2}} = \frac{1}{\sqrt{13}} \neq 1$。
故選 $(3)(4)$。