83大學聯考數學（社會組）選填第9題詳解

1. 球面 $S$ 的球心為 $$C=(1,0,-1),$$ 半徑為 $2$。設切點為 $$P=(1,\sqrt{3},0).$$ 則切平面 $T$ 的法向量可取 $$\overset{\large\rightharpoonup}{CP}=(1-1,\sqrt{3}-0,0-(-1))=(0,\sqrt{3},1).$$ 因此切平面方程式為 $$0(x-1)+\sqrt{3}(y-\sqrt{3})+1(z-0)=0,$$ 即 $$\sqrt{3}y+z-3=0.$$ 2. 點 $A=(5,1,1)$ 到平面 $T$ 的距離為 $$\dfrac{|0\cdot 5+\sqrt{3}\cdot 1+1-3|}{\sqrt{0^2+(\sqrt{3})^2+1^2}}=\dfrac{|\sqrt{3}-2|}{2}=\dfrac{2-\sqrt{3}}{2}.$$ 故答案為 $\dfrac{2-\sqrt{3}}{2}$。