101學測數學選填第20題詳解

六個平面所圍長方體的邊長為： $x$ 方向：$\frac{14}{13} - \frac{1}{13} = 1$； $y$ 方向：$1 - (-1) = 2$； $z$ 方向：$-1 - (-4) = 3$。 共有 $8$ 個頂點。 2. 從 $8$ 個頂點中任選 $2$ 個相異頂點，共有 $C^8_2 = 28$ 種組合。 3. 兩頂點距離大於 $3$ 等價於距離平方 $> 9$。計算各類頂點對的距離平方： 稜邊（平行坐標軸）：因為 $1^2, 2^2, 3^2$ 均 $\le 9$，所以不符合條件。 面對角線：$1^2+2^2=5$（$4$ 對）、$1^2+3^2=10 > 9$（$4$ 對）、$2^2+3^2=13 > 9$（$4$ 對）。 空間對角線：$1^2+2^2+3^2=14 > 9$（$4$ 對）。 因此合計符合條件的共有 $4 + 4 + 4 = 12$ 對。 機率為 $\frac{12}{28} = \frac{3}{7}$。 故填 $\frac{3}{7}$。