105學測數學選填第16題詳解

1. 設橢圓為 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中 $a>b>0$，兩焦點為 $(\pm c,0)$ 且 $c^2=a^2-b^2$。 2. 因為過焦點且垂直長軸的直線是 $x=\pm c$，把 $x=c$ 代入橢圓方程式，所以 $$\dfrac{c^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\implies \dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{a^2-c^2}{a^2}=\dfrac{b^2}{a^2}\implies y=\pm\dfrac{b^2}{a}.$$ 3. 因此四個交點為 $\left(\pm c,\pm\frac{b^2}{a}\right)$，它們圍成的矩形水平邊長為 $2c$、鉛直邊長為 $\frac{2b^2}{a}$。 4. 因為題目說這是邊長 $2$ 的正方形，所以兩個邊長都等於 $2$，得 $c=1$ 與 $b^2=a$。 5. 把 $c=1$ 與 $b^2=a$ 代入 $c^2=a^2-b^2$，所以 $$1=a^2-a\implies a^2-a-1=0\implies a=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2},$$ 其中負根因 $a>0$ 不合。 6. 因為長軸長為 $2a$，所以長軸長為 $2\times\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1+\sqrt{5}$。 故 $\Gamma$ 的長軸長為 $1+\sqrt{5}$。