105學測數學選填第15題詳解

解法一 以 $\overset{\large\rightharpoonup}{u}$ 與 $\overset{\large\rightharpoonup}{v}$ 為兩邊的平行四邊形面積為 $$\left|\begin{matrix}1 & 2\\ 3 & 4\end{matrix}\right|=|4-6|=2$$。 所以由 $\frac{1}{2}\overset{\large\rightharpoonup}{u}+\frac{1}{2}\overset{\large\rightharpoonup}{v}$ 展開的淺灰色平行四邊形 $(a)$ 面積為 $$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$。 又由 $\frac{1}{2}\le x\le1$、$-3\le y\le\frac{1}{2}$ 組成的區域共有 7 個深灰色區塊 $(b)$。 因為 $(a)=(b)=\frac{1}{2}$，所以 $\Omega$ 面積為 $$\frac{1}{2}\times7=\frac{7}{2}$$。 另解 以 $\overset{\large\rightharpoonup}{u}$ 與 $\overset{\large\rightharpoonup}{v}$ 展開的平行四邊形面積為 2，且 $\overset{\large\rightharpoonup}{OP}=x\overset{\large\rightharpoonup}{u}+y\overset{\large\rightharpoonup}{v}$ 的 $x$ 的範圍 $$1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$，$y$ 的範圍 $$\frac{1}{2}-(-3)=\frac{7}{2}$$。 所以 $\Omega$ 面積為 $$2\times\frac{1}{2}\times\frac{7}{2}=\frac{7}{2}$$。

解法一附圖

解法二附圖