105學測數學選填第15題詳解

1. 因為 $\overset{\large\rightharpoonup}{OP}=x\overset{\large\rightharpoonup}{u}+y\overset{\large\rightharpoonup}{v}$ 且 $x$、$y$ 各自在一個閉區間內變動，所以 $\Omega$ 是由 $\overset{\large\rightharpoonup}{u}$、$\overset{\large\rightharpoonup}{v}$ 兩個方向張成的平行四邊形。 2. 因為線性變換把「邊長為 $\Delta x$ 與 $\Delta y$ 的矩形」映成平行四邊形，面積放大 $\left|\det\right|$ 倍，所以 $$\text{面積}=\Delta x\cdot\Delta y\cdot\left|\det\left(\overset{\large\rightharpoonup}{u},\overset{\large\rightharpoonup}{v}\right)\right|.$$ 3. 計算行列式，所以 $$\left|\det\begin{bmatrix} 1 & 3\\ 2 & 4\end{bmatrix}\right|=|1\times 4-2\times 3|=|-2|=2.$$ 4. 計算兩個係數的區間長度：因為 $x$ 從 $\frac{1}{2}$ 到 $1$，所以 $\Delta x=\frac{1}{2}$；因為 $y$ 從 $-3$ 到 $\frac{1}{2}$，所以 $\Delta y=\frac{1}{2}-(-3)=\frac{7}{2}$。 5. 三者相乘，所以 $$\text{面積}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{7}{2}\times 2=\dfrac{7}{2}.$$ 故 $\Omega$ 的面積為 $\frac{7}{2}$ 平方單位。