109指考數學甲補考多選第4題詳解

選項 $(1)$：正確。 因為 $O, A', B'$ 不共線，所以 $\overset{\large\rightharpoonup}{OA'}$ 與 $\overset{\large\rightharpoonup}{OB'}$ 為線性獨立，即 $M$ 將一組基底映射到另一組基底。因為可逆矩陣的充要條件是將基底映射到基底，所以 $M$ 為可逆矩陣。 選項 $(2)$：正確。 因為 $M$ 是線性變換，所以保持向量的線性組合關係。由 $\overset{\large\rightharpoonup}{OC} = 2\overset{\large\rightharpoonup}{OA} + 3\overset{\large\rightharpoonup}{OB}$，得 $M\overset{\large\rightharpoonup}{OC} = M(2\overset{\large\rightharpoonup}{OA} + 3\overset{\large\rightharpoonup}{OB}) = 2M\overset{\large\rightharpoonup}{OA} + 3M\overset{\large\rightharpoonup}{OB}$，即 $\overset{\large\rightharpoonup}{OC'} = 2\overset{\large\rightharpoonup}{OA'} + 3\overset{\large\rightharpoonup}{OB'}$。 選項 $(3)$：錯誤。 因為一般的線性變換不保證保角性質（只有正交變換才保角），所以 $\angle AOB$ 不一定等於 $\angle A'OB'$。 選項 $(4)$：錯誤。 因為一般的線性變換不保證保持長度比（只有相似變換才保長度比），所以 $\overline{OA}:\overline{OB}$ 不一定等於 $\overline{OA'}:\overline{OB'}$。 選項 $(5)$：正確。 因為對於平面上的線性變換 $M$，圖形面積變為原來的 $|\det(M)|$ 倍，所以 $\Delta OA'B'$ 的面積 $= \Delta OAB$ 的面積 $\times |\det(M)|$。 故選 $(1)(2)(5)$。