105學測數學選填第17題詳解

1. 寫出增廣矩陣，所以 $$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 0\\ 2 & 1 & 3 & 6\\ 1 & -1 & 0 & 6\\ 1 & -2 & -1 & 8\end{bmatrix}.$$ 2. 以第一列為基準消去第一行，把第一列的 $2$ 倍、$1$ 倍、$1$ 倍分別從第二、三、四列減去，所以 $$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 0\\ 0 & -3 & -3 & 6\\ 0 & -3 & -3 & 6\\ 0 & -4 & -4 & 8\end{bmatrix}.$$ 3. 因為第二列每項同除以 $-3$ 可化簡，所以第二列變成 $\begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 & -2\end{bmatrix}$。 4. 因為第三列與第四列都與新的第二列成比例，把第二列的 $3$ 倍加到第三列、$4$ 倍加到第四列，所以這兩列全變成零列。 5. 最後把第二列的 $2$ 倍從第一列減去以消去第二行，所以第一列變成 $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 4\end{bmatrix}$，整個矩陣化為 $$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 4\\ 0 & 1 & 1 & -2\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}.$$ 與題目給的形式逐位對照即得四個未知數。 故 $a=1$、$b=4$、$c=1$、$d=-2$。